Горелов В.А. Об алгебраических свойствах аналитических функций некоторых классов и их приложениях в теории трансцендентных чисел

Диссертация на соискание учёной степени доктора физико-математических наук. — Специальность 01.01.06 – математическая логика, алгебра и теория чисел. — Москва: Московский государственный университет имени Μ.В. Ломоносова. — 2020. — 244 с.Актуальность темы и степень её разработанности.
В теории трансцендентных чисел значительное место занимают исследования арифметической природы значений различных аналитических функций. Одним из основных методов в этой области остаётся опубликованный в 1929 г. метод К. Зигеля, позволяющий устанавливать трансцендентность и алгебраическую независимость значений в алгебраических точках целых аналитических функций некоторого класса, названных им Е-функциями. К. Зигель сформулировал гипотезу, что всякая Е-функция, удовлетворяющая линейному дифференциальному уравнению с коэффициентами из ℂ(z), представляется в виде многочлена с алгебраическими коэффициентами от z и конечного числа гипергеометрических Е-функций, а также функций, получающихся из них заменой z на αz при α ϵ А, где А – поле всех алгебраических чисел над ℚ. До появления статей автора в направлении решения этой задачи не было получено никаких результатов.
Положения, выносимые на защиту.
Обобщение и уточнение общих теорем А.Б. Шидловского об алгебраической независимости значений Е-функций.
Доказательство гипотезы Зигеля для случая линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка, линейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка и некоторых видов линейных неоднородных дифференциальных уравнений 2-го порядка.
Решение вопроса, об алгебраической независимости над ℂ(z) множества, всех гипергеометрических Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям не выше 2-го порядка, а также о возможных алгебраических связях между ними.
Доказательство теорем общего характера, с необходимыми и достаточными условиями об алгебраической независимости над ℂ(z) решений произвольных совокупностей гипергеометрических уравнений различных порядков.
Получение новых алгебраических тождеств, связывающих гипергеометрические функции.
Получение новых оценок многочленов от значений Е-функций.
Практическая и теоретическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории трансцендентных чисел, теории диофантовых приближений, теории специальных функций, дифференциальной алгебре, аналитической теории дифференциальных уравнений.Введение
Обозначения и исходные определения
Актуальность темы и степень её разработанности
Общая характеристика работы
Основные результаты диссертации
Общие теоремы об алгебраической независимости значений E-функций
Вспомогательные утверждения
Доказательство теоремы 1
Доказательство теоремы 2
Свойства дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют Е-функции
Вспомогательные утверждения
Доказательство теорем 3 и 4
Доказательство теоремы 5
О структуре множества Е-функций, удовлетворяющих линейным дифференциальным уравнениям 1-го и 2-го порядков
Доказательство теоремы 6
Доказательство теорем 7 и 8
Доказательство теорем 9, 10 и 11
Доказательство теоремы 13
Алгебраические свойства решений гипергеометрических уравнений
Доказательство теорем 14 и 15
О коградиентности и контрградиентности дифференциальных уравнений и систем
Вспомогательные утверждения
Доказательство теорем 19, 20 и 21
Алгебраические свойства гипергеометрических функций, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям 2-го порядка
Об алгебраических соотношениях между рассматриваемыми гипергеометрическими функциями
Вспомогательные утверждения
Доказательство теоремы 23
Доказательство теоремы 22
Доказательство теорем 24 и 25
Оценки мер алгебраической независимости значений E-функций
Вспомогательные утверждения
Доказательство теорем 26, 26', 27, 27'
Доказательство теорем 28 и 28'
О неприводимости произведений степеней решений систем линейных дифференциальных уравнений
Доказательство теоремы 29
Заключение
Литература