Godel K. On formally undecidable propositions of Principia mathematica and related systems

New York: Dover Publications, Inc. – 72 p. на англ. языкеГёдель К. О формально неразрешимых суждениях и родственных системахРепринтное издание 1962 года на английском языке, представляет собой краткое изложение доказательство Курта Гёделя о противоречивости аксиом арифметики, которая в Эрлангенской программе знаменитых математических проблем приняла форму второй проблемы Гильберта. В данном кратком изложении Геделя, впервые опубликованном в 1931 году, доказывается знаменитая теорема о неполноте, то есть о принципиальных ограничениях формальной арифметики и, как следствие, всякой формальной системы, в которой можно определить основные арифметические понятия: натуральные числа, 0, 1, сложение и умножение. Теорема Геделя и ее значение выходят за рамки математики, она имеет общефилософское и общеестественнонаучное значение. Фактически это был один из первых ударов по формализму и позитивизму, ведь формализация арифметики (аксиомы Пеано) оказывалась принципиально порочной, а значит и любая формализация чего-либо тоже порочна. Ведь из доказательства Геделя вытекало простое, но при этом очень важное утверждение для всей философии и методологии наук - невозможно добиться того, чтоб каждое истинное утверждение было доказуемо.