Зарегистрироваться
Восстановить пароль
FAQ по входу

Беллман Р.Э. Введение в теорию матриц

  • Файл формата djv
  • размером 4,49 МБ
Беллман Р.Э. Введение в теорию матриц
М.: Наука, 1969. — 368 с.
Kнигa посвящена изложению теории матриц и ее приложения к теории дифференциальных уравнений, математической экономике, теории вероятностей. Монография написана так, что ее может читать студент, не изучавший ранее линейную алгебру. В книге имеется более 600 задач; многие из них подводят читателя к самостоятельной научной деятельности в области теории матриц. Ценность книги увеличивают приводимые в конце каждой главы обзоры последних оригинальных работ в соответствующей области.
Книга рассчитана на студентов университетов и втузов, на инженеров, физиков, механиков, использующих матричный аппарат. Много привлекательного найдет в ней и математик, интересующийся собственно теорией матриц.
Предисловие редактора перевода
Предисловие автора к русскому изданию
Предисловие автора к английскому изданию
Максимизация и минимизация. Обоснование
Введение
Максимизация функции одной переменной
Максимизация функции двух переменных
Алгебраический подход
Аналитический подход – I
Аналитический подход – II
Упрощающее преобразование
Другое необходимое и достаточное условие
Определенные и неопределенные формы
Геометрический подход
Обсуждение
Упражнения
Библиография и комментарий
Векторы и матрицы
Введение
Векторы
Сложение векторов
Умножение вектора на скаляр
Скалярное произведение двух векторов
Ортогональность
Матрицы
Умножение вектора на матрицу
Умножение матрицы на матрицу
Некоммутативность
Ассоциативность
Инвариантные векторы
Квадратичная форма как скалярное произведение
Транспонированная матрица
Симметрические матрицы
Эрмитовы матрицы
Ортогональные матрицы. Инвариантность расстояний
Унитарные матрицы
Упражнения
Библиография и комментарии
Диагонализация и канонические формы симметрических матриц
Резюме
Решение системы линейных однородных уравнений
Собственные векторы и собственные значения
Два фундаментальных свойства симметрических матриц
Приведение к диагональной форме. Различные собственные значения
Приведение квадратичной формы к каноническому виду
Положительно определенные квадратичные формы и матрицы
Упражнения
Библиография и комментарий
Приведение симметрических матриц к диагональной форме в общем случае
Введение
Линейная зависимость
Ортогонализация Грама – Шмидта
Положительность определителей Грама Dk
Одно тождество
Диагонализация симметрической матрицы второго порядка
N-мерный случай
Необходимое и достаточное условие положительной определенности
Собственные векторы, соответствующие кратным собственным значениям
Теорема Гамильтона - Кэли для симметрических матриц
Одновременное приведение к диагональной форме
Одновременное приведение к сумме квадратов
Эрмитовы матрицы
Исходная проблема максимизации
Теория возмущений – I
Теория возмущений – II
Упражнения
Библиография и комментарии
Условные экстремумы
Введение
Детерминантный критерий положительной определенности (критерий Сильвестра)
Представление в виде суммы квадратов
Связанные вариации и теорема Финслера
Случай k = 1
Задача о минимизации
Общий случай
Прямоугольные матрицы
Клеточные матрицы
Решение задачи в общем случае
Упражнения
Библиография и комментарий
Функции от матрицы
Введение
Функции от симметрической матрицы
Обратная матрица
Единственность обратной матрицы
Квадратные корни
Параметрическое представление
Результат Шура
Основные скалярные функции
Несобственный интеграл
Аналог для эрмитовых матриц
Связь между J (Н) и |Н|
Упражнения
Библиография и комментарий
Вариационное описание характеристических чисел
Введение
Отношение Релея
Вариационные свойства характеристических чисел
Обсуждение
Геометрические предпосылки
Теорема Куранта-Фишера о минимаксном представлении характеристических чисел
Монотонное поведение λk(А)
Теорема отделения Штypмa
Необходимое и достаточное условие положительной определенности матрицы А
Теорема отделения Пуанкаре
Теорема о представлении
Приближенные методы
Упражнения
Библиография и комментарий
Неравенства
Введение
Неравенство Коши – Шварца
Интегральный вариант
Неравенство Гёльдера
Вогнутость |А|
Одно полезное неравенство
Неравенство Адамара
Вогнутость произведения λN*λN-1……λk
Аддитивные неравенства, вытекающие из мультипликативных
Другой путь
Более простое выражение для λN*λN-1……λk
Неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим
Мультипликативные неравенства, вытекающие из аддитивных
Упражнения
Библиография и комментарий
Динамическое программирование
Введение
Задача наименьшего отклонения
Функциональное уравнение
Рекуррентные соотношения
Более сложный пример
Проблема Штурма – Лиувилля
Функциональные уравнения
Матрицы Якоби
Аналитическое продолжение
Несимметрические матрицы
Случай комплексной матрицы А
Слабо связанные системы
Упрощения-I
Упрощения-II
Уравнение Ах = У
Квадратичное уклонение
Результат Стилтьеса
Упражнения к гл. 9
Библиография и комментарий
Матрицы и дифференциальные уравнения
Обоснование
Векторно-матричные обозначения
Нормы векторов и матриц
Бесконечные ряды векторов и матриц
Существование и единственность решений линейной системы уравнений
Матричная экспонента
Функциональные уравнения - I
Функциональные уравнения - II
Функциональные уравнения – III
Невырожденность решения
Решение неоднородного уравнения. Постоянные коэффициенты
Неоднородное уравнение. Переменные коэффициенты
Неоднородное уравнение. Сопряженная система
Теория возмущений
Неотрицательность решения
Функциональное уравнение Пойа
Уравнение dX/dt = АХ +ХВ
Уравнение АХ+ХВ=С
Упражнения
Библиография и комментарий
Явные решения и канонические формы матриц
Введение
Метод Эйлера
Построение решения
Невырожденность матрицы С
Другой метод
Определитель Вандермонда
Явная форма решения линейного дифференциального уравнения. Диагональные матрицы
Диагонализация матрицы
Связь между двумя подходами
Кратные характеристические числа
Каноническая форма Жордана
Кратные характеристические числа (другой метод)
Треугольная форма матрицы. Теорема Шура
Hоpмальные матрицы
Теорема об аппроксимации
Другая теорема об аппроксимации
Теорема Гамильтона-Кэли
Другое доказательство теоремы Гамильтона-Кэли
Линейные уравнения с периодическими коэффициентами
Представление невырожденной матрицы в виде экспоненты
Другое доказательство
Некоторые интересные преобразования
Биортогональность
Преобразование Лапласа
Пример
Обсуждение результата
Матричный случай
Упражнения
Библиография и комментарий
Симметрические функции, кронекеровские произведения и циркулянты
Введение
Степени собственных значений
Полиномы и характеристические уравнения
Симметрические функции
Кронекеровские произведения
Алгебра кронекеровских произведений
Кронекеровские степени – I
Кронекеровские степени – II
Кронекеровские степени- III
Кронекеровский логарифм
Кронекеровская сумма – I
Кронекеровская сумма - II
Уравнение АХ + ХВ = С
Другое доказательство
Циркулянты
Упражнения
Библиография и комментарий
Теория устойчивости
Введение
Необходимые и достаточные условия устойчивости
Устойчивые матрицы
Метод Ляпунова
Среднеквадратичное отклонение
Некоторые эффективные критерии устойчивости
Необходимое и достаточное условие устойчивости матриц
Дифференциальные уравнения и собственные значения
Эффективные условия устойчивости матриц
Упражнения
Библиография и комментарий
Марковские матрицы и теория вероятностей
Введение
Простой стохастический процесс
Марковские матрицы и вероятностные векторы
Аналитическое описание дискретных марковских процессов
Асимптотическое поведение
Первое доказательство
Второе доказательство независимости от начального состояния
Некоторые свойства положительных марковских матриц
Второе доказательство сходимости
Марковские матрицы общего вида
Непрерывный стохастический процесс
Доказательство вероятностных свойств
Обобщенные вероятности: унитарные преобразования
Обобщенные вероятности: матричные преобразования
Упражнения
Библиография и комментарий
Случайные матрицы
Введение
Предельное поведение физических систем
Средние значения
Средние значения квадратов
Упражнения
Библиография и комментарий
Положительные матрицы, теорема Перрона и математическая экономика
Введение
Некоторые процессы простого роста
Обозначения и определения
Теорема Перрона
Доказательство теоремы 1
Второе доказательство простоты λ (А)
Доказательство свойства минимальности λ (А)
Эквивалентное определение λ (А)
Предельная теорема
Стационарный рост
Непрерывные процессы роста
Аналог теоремы Перрона
Ядерный распад
Математическая экономика
Матрицы Минковского – Леонтьева
Положительность определителя │ I - А│
Усиление теоремы 6
Линейное программирование
Теория игр
Марковские процессы принятия решений
Экономическая модель
Упражнения
Библиография и комментарий
Приложение А. Линейные уравнения и ранг
Введение
Определители
Свойство алгебраических дополнений
Правило Крамера
Однородные системы
Ранг
Ранг квадратичной формы
Закон инерции (Якоби - Сильвестра)
Сигнатура
Упражнения к приложению А
Библиография и комментарий
Приложение Б. Метод Эрмита
Приложение В. Моменты и квадратичные формы
Введение
Обозначения
Метод Фишера
Моментное представление
Результат Герглотца
Библиография и комментарий
Дополнительная литература по теории матриц и ее приложениям
Именной указатель
Предметный указатель
  • Чтобы скачать этот файл зарегистрируйтесь и/или войдите на сайт используя форму сверху.
  • Регистрация