Шведов О.Ю. Лекции по школьной математике

М.: Спорт и Культура — 2000, 2011. — ISBN: 978-5-91775-068-2.В книге приводятся не только основные формулы алгебры, начал математического анализа и геометрии, но и их обоснование. Материал излагается кратко, без излишнего «разжевывания» очевидных с точки зрения учащегося вопросов. Книга предназначена как для старшеклассников, их учителей и родителей, так и для студентов, желающих вспомнить элементарную математику.От автора
Алгебра и начала анализа
Введение в алгебру
Квадратный трехчлен
Вавилонская задача о нахождении двух чисел по их сумме и произведению
Разложение квадратного трехчлена на множители. Решение квадратного уравнения
Исследование квадратного трехчлена методом выделения полного квадрата. Минимально возможное значение квадратного трехчлена. Когда квадратное уравнение не имеет корней
Неравенство для среднего арифметического и среднего геометрического
Исследование неравенств, содержащих квадратный трехчлен, с помощью метода интервалов
Числовые последовательности и прогрессии
Арифметическая прогрессия: определение, п-й член, сумма первых п членов
Геометрическая прогрессия: определение, п-й член. Степень с натуральным и нулевым показателем
Сумма первых п членов геометрической прогрессии
Бесконечная периодическая дробь, метод ее перевода в обыкновенную
Степени и радикалы
Определение степени с отрицательным целым показателем. Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов)
Основные свойства степени с целым показателем (сложение и умножение показателей, умножение оснований)
Корень п-й степени при четном и нечетном . Возведение корня п-й степени в степень
Радикал произведения и степени, последовательное извлечение радикалов
Определение степени с дробным показателем
Равные дробные показатели и равные степени. Свойства степени с дробным показателем
Показательная функция. Логарифм
Графики функции у = 2^х х и у = 0,5^х. Общие свойства показательной функции у(х) = ах при разных а (возрастание при а > и убывание при < а < , достижение сколь угодно больших и сколь угодно близких к нулю значений)
Решение уравнения а^х = b. Определение логарифма. Логарифмические тождества (показательная функция от логарифма и логарифм показательной функции)
Свойства логарифмов: логарифм произведения, степени, переход к другому основанию
Применение логарифмов (замена умножения на сложение, возведение в произвольную степень, извлечение корней)
Элементы высшей математики
Дифференциальное исчисление. Метод Ферма исследования функций
Как заменить криволинейный график функции прямой линией? Понятие производной
Дифференцирование константы, суммы величин, произведения величины на константу
Дифференцирование произведения
Дифференцирование выражений х² х³, и 1/х. Общая формула для дифференцирования х^п
Дифференцирование тригонометрических функций
Метод Ферма исследования функций на возрастание и убывание
Понятие об интеграле. Формула Ньютона-Лейбница
Понятие об интеграле. Интеграл от константы и ступенчатой функции
Интеграл от суммы функций, произведения функции на число
Замена переменной в интеграле и операции над графиком функции (отражение, сдвиг, растяжение по горизонтали)
Изменение функции и интеграл от ее производной. Формула Ньютона-Лейбница, ее применение к расчету интегралов
Замена переменной в интеграле с точки зрения формулы Ньютона-Лейбница
Табличные интегралы (интегралы от степенной и тригонометрической функции)
Натуральный логарифм и экспонента
Натуральный логарифм как площадь под гиперболой. Интеграл от 1/х по произвольному промежутку. Производная натурального логарифма
Масштабирование площади под гиперболой. Натуральный логарифм произведения и степени. Значения, принимаемые натуральным логарифмом
Определение экспоненты. Экспонента нуля. Логарифм экспоненты и экспонента логарифма. Произведение экспонент, степень экспоненты. Число е как основание натуральных логарифмов
Дифференцирование экспоненты и степенной функции
Комплексные числа
Комплексные числа, их действительная и мнимая части
Сложение и умножение комплексных чисел. Комплексное сопряжение. Обращение комплексного числа. Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов)
Изображение комплексного числа на координатной плоскости. Сложение комплексных чисел и сложение векторов. Тригонометрическая запись комплексного числа, его модуль и аргумент
Функция Эйлера. Геометрический смысл умножения комплексного числа на функцию Эйлера (поворот вектора)
Свойства функции Эйлера при сложении аргументов — краткая запись тригонометрических формул сложения
Приближенный расчет значений синуса и косинуса с помощью комплексных чисел. Понятие об экспоненте мнимого числа
Извлечение корня n-й степени из комплексного числа
Уравнения и неравенства. Целочисленная математика
Уравнения п-й степени
Уравнение n-й степени. Исключение слагаемых (п —1)-й степени. Понижение степени уравнения с известным корнем (случай корня х = и общий случай). Разложение Виета для многочлена n-й степени с п корнями
Решение уравнений третьей степени (решение в радикалах, тригонометрический метод)
Решение уравнений четвертой степени
Специальные типы уравнений и неравенств
Методы решения уравнений и неравенств с модулями и радикалами (раскрытие модуля, замены, равносильные преобразования)
Методы решения уравнений с показательными и логарифмическими функциями (замена переменной, отбрасывание логарифмов и основания степени)
Методы решения тригонометрических уравнений
Делимость натуральных чисел
Признаки делимости
Наибольший общий делитель двух чисел (два определения). Расчет наибольшего общего делителя методом Евклида
Взаимно простые числа.
Решение уравнения Ах = By с неизвестными хи у в целых числах
Уравнение Ах = By + С: условие разрешимости, метод решения
треугольника. Теорема Пифагора
Задача о высоте произвольного треугольника
Расчет длины медианы треугольника
Расчет длины биссектрисы треугольника
Понятие о вписанных и описанных окружностях
Расчет положения центра и радиуса окружности, описанной около равнобедренной трапеции, равнобедренного треугольника, прямоугольного треугольника
Касательная к окружности, ее перпендикулярность радиусу. Длина касательной к окружности, равенство двух касательных. Положение центра окружности, вписанной в угол
Задача об окружности, вписанной в равнобедренный треугольник
Отрезки, на которые вписанная окружность разбивает стороны треугольника
Задача об окружности, вписанной в прямоугольный треугольник
Свойство описанного четырехугольника
Понятие о вневписанной окружности треугольника. Отрезки, на которые вневписанная окружность разбивает стороны треугольника
Площади, углы и тригонометрия Площади
Понятие площади. Площади подобных фигур. Площадь треугольника (выражение через основание и высоту и формула Герона) и трапеции
Связь площади многоугольника с его периметром и радиусом вписанной окружности
Площадь треугольника и радиус вневписанной окружности треугольника
Измерение углов и дуг
Круговой сектор; измерение его площади как способ измерения угла. Градусная и радианная мера угла. Измерение дуг
Длина окружности и дуги окружности
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, треугольника; свойство внешнего угла треугольника
Взаимосвязь углов и дуг
Угол между хордой и касательной и дуга окружности
Угол, вписанный в окружность, угол между пересекающимися хордами (секущими), их связь с дугами
Свойство пересекающихся хорд, свойство касательной и секущей
Применение вспомогательной окружности для расчета длины биссектрисы треугольника
Тригонометрические функции острого угла
Определение тригонометрических функций острого угла. Представление тангенса и котангенса через синус и косинус. Формулы приведения
Тригонометрическое доказательство теоремы Пифагора. Тригонометрические тождества
Тригонометрические функции углов в , и градусов
Тригонометрические функции малых углов (неравенство для синуса и тангенса угла и его радианной меры; оценка синуса и тангенса малого угла)
Теоремы косинусов и синусов
Теорема косинусов
Теорема синусов. Выражение площади треугольника через синус угла
Понятие косинуса и синуса тупого угла
Тригонометрические формулы сложения. Составление таблиц тригонометрических функций
Формула сложения для синуса и косинуса. Тригонометрические функции двойного и половинного угла. Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов)
Методы составления таблиц тригонометрических функций и расчета числа Г
Применения тригонометрии
Радиус описанной окружности
Задача о длине медианы треугольника (решение на основе теоремы косинусов)
Задача о биссектрисе треугольника (решение из теоремы синусов). Длина биссектрисы (расчет на основе теоремы косинусов, представление через косинус половинного угла)
Формула Герона (выводы на основе теоремы косинусов и из свойств вписанной и вневписанной окружностей)
Координаты и векторы
Координаты и векторы на прямой
Координатная ось. Координата точки на оси. Длина отрезка с заданными координатами концов. Координата точки, делящей отрезок в заданном отношении т : п. Координата середины отрезка
Понятие о векторе. Компонента вектора на оси. Равенство векторов, сложение векторов и умножение вектора на число (определение через компоненты и геометрическое определение)
Координаты и векторы на плоскости
Проектирование на прямую в геометрии на плоскости. Декартова прямоугольная система координат. Координаты точки на плоскости. Построение и единственность точки с заданными координатами
Проектирование точки, делящий отрезок в данном отношении. Координаты середины отрезка
Вектор на плоскости и его компоненты. Равенство векторов (геометрическое определение) и равенство компонент. Параллельность и равенство длин равных векторов
Откладывание от данной точки вектора с заданными компонентами. Параллельный перенос на заданный вектор (определение, сохранение компонент векторов и длин отрезков)
Сложение векторов и умножение вектора на число (определение, поведение проекций и компонент векторов)
Вычисления в методе координат
Длина вектора с заданными компонентами и длина отрезка с заданными координатами концов
Расчет косинусов углов на координатной плоскости. Понятие о скалярном произведении векторов
Уравнения окружности и прямой
Построение вектора, перпендикулярного данному. Вращение на ° по и против часовой стрелки
Расчет синуса угла между векторами с учетом направления и площадь треугольника на координатной плоскости
Тригонометрия ориентированных углов
Понятие ориентированного угла. Положительные и отрицательные ориентированные углы. Величина ориентированного угла
Сложение ориентированных углов. Равенство ориентированных углов, отличающихся на °
Косинус и синус ориентированного угла, их расчет и изображение на координатной плоскости
Тригонометрические функции числа, их периодичность и (не)четность. Тангенс и котангенс
Формулы сложения для косинуса и синуса
Обратные тригонометрические функции
Основные понятия стереометрии
Параллельность в стереометрии
Аксиомы стереометрии (наличие четырех точек не на плоскости, принадлежность прямой АВ к плоскости, плоскость через три точки не на прямой, пересечение плоскостей более чем в одной точке)
Простейшие следствия аксиом (пересечение плоскостей по прямой, проведение плоскости через две пересекающиеся прямые, через точку и прямую)
Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов)
Параллельность прямых в пространстве. Построение параллельной прямой. Параллельность прямой и плоскости. Свойство прямой, параллельной некоторой прямой в плоскости
Построение проходящей через заданную точку прямой, параллельной сразу двум параллельным прямым. Свойство двух прямых, параллельных третьей
Сохранение величин углов при параллельном переносе
Перпендикулярность и проектирование
Свойство прямой, перпендикулярной двум сторонам треугольника, и медианы этого треугольника
Перпендикулярность прямой и плоскости. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Свойство прямой, параллельной перпендикуляру к плоскости
Проектирование точки на плоскость путем последовательного проектирования на две прямые. Единственность перпендикуляра, проведенного к плоскости из данной точки
Проектирование точки, делящей отрезок в данном отношении, на плоскость
Проектирование точки на плоскость с использованием известного перпендикуляра к плоскости
Параллельность плоскостей с общим перпендикуляром. Построение общего перпендикуляра к параллельным плоскостям
Проектирование сначала на плоскость, а затем на прямую в ней, и проектирование сразу на эту прямую. Проектирование отрезка и его середины на прямую
Координаты и векторы в стереометрии
Декартова прямоугольная система координат в пространстве. Координаты точки. Построение и единственность точки с заданными координатами
Вектор в пространстве и его компоненты. Равенство векторов (геометрическое определение) и их компонент
Откладывание от данной точки вектора с заданными компонентами. Параллельный перенос на заданный вектор (определение, сохранение компонент векторов и длин отрезков)
Сложение векторов и умножение вектора на число (определение, поведение проекций и компонент векторов)
Длина вектора с заданными компонентами и длина отрезка с заданными координатами концов
Расчет косинуса угла между векторами в пространстве. Скалярное произведение векторов в пространствеВычисления в стереометрии
Расстояния и углы
Расстояние от точки до плоскости с известным вектором нормали. Уравнение плоскости. Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостями и угол между их перпендикулярами
Поведение площадей фигур при проектировании. Расчет косинуса угла между треугольником в пространстве и координатной плоскостью
Построение перпендикуляра к треугольнику. Понятие о векторном произведении векторов
Операции над векторами в пространстве и кватернионы Гамильтона
Расстояние между скрещивающимися прямыми. Метод построения общего перпендикуляра (плоскость через одну из прямых параллельно другой, проектирование на эту плоскость), единственность перпендикуляра. Векторный метод расчета расстояния
Построение сферы, описанной около пирамиды
Объемы и площади поверхностей
Формула, представляющая объем пространственной фигуры через интеграл
Расчет объема треугольной пирамиды. Объем многоугольной пирамиды и прямого кругового конуса. Представление объема треугольной пирамиды через скалярное и векторное произведения
Лекции по школьной математике (О.Ю. Шведов)
Связь радиуса вписанной сферы с объемом и площадью поверхности многогранника
Объемы шарового сегмента и шара
Площадь боковой поверхности правильной многоугольной пирамиды, прямого кругового конуса и усеченного прямого кругового конуса
Площадь сегментной поверхности и сферы
Указатели
Достижения математиков разных эпох
Список литературы
Дополнения