Зарегистрироваться
Восстановить пароль
FAQ по входу

Копанев С.А., Кривякова Э.Н. Интеграл Лебега. Ч. 1

  • Файл формата pdf
  • размером 11,39 МБ
  • Добавлен пользователем
  • Отредактирован
Копанев С.А., Кривякова Э.Н. Интеграл Лебега. Ч. 1
Учебное пособие. — Томск: Изд-во Том. ун-та, 2011. — 236 с.
ISBN 978-5-7511-1978-2.
Книга посвящена интегралу Лебега. Рассматривается на достаточно высоком уровне абстракции конструкция, основанная на интегральных суммах. Предварительно вводятся и подробно изучаются мера, обобщённая мера и некоторые конкретные меры: мера Лебега, мера Лебега—Стильеса, вероятностная мера. Затем изучаются измеримые отображения и вопросы, связанные со сходимостями последовательностей и рядов измеримых отображений. Рассмотрен интеграл Лебега по обобщённой мере.
Предлагаемая читателю книга состоит из трёх глав. В первой главе рассмотрены системы множеств: полукольцо, кольцо, алгебра, сигма-алгебра, их свойства и соотношения. Дано определение отображения множеств, изучены его свойства (монотонность, σ-аддитивность и др.), дано определение меры ν как неотрицательного, σ-конечного, σ-аддитивного и полного отображения множеств, область определения которого есть σ-алгебра. Доказана теорема Каратеодори о продолжении меры. Достаточно детально рассмотрены мера Лебега, мера Лебега—Стилтьеса, вероятностная мера, обобщённая мера. Во второй главе рассмотрены ν-измеримые отображения, доказаны теоремы об их свойствах, а также изучены свойства последовательности отображений и ряда отображений для различных типов сходимости. В третьей главе введено определение лебегова числа на основе нижней и верхней интегральных сумм Лебега для ν-измеримого ограниченного отображения, доказана теорема существования лебегова числа. Подробно изучены свойства лебегова числа. Определение интеграла Лебега дано для произвольного ν-измеримого отображения (отображение может быть неограниченным, а область определения может иметь бесконечную меру). Приведены примеры построения интеграла Лебега для конкретных отображений. Детально изучены свойства интеграла Лебега. Доказаны теоремы Лебега и Б.Леви о последовательности отображений и интеграле Лебега и соответствующие теоремы для ряда отображений. Дано определение интеграла Лебега по обобщённой мере, изучены его свойства. Проведено сравнение соответствующих свойств интеграла Лебега по мере (неотрицательной) и по обобщённой мере.
Для студентов физико-математических специальностей университетов, а также преподавателей и специалистов по теории меры и интеграла.
Предисловие.
Элементы теории меры.
Множество множеств.
Отображение множеств.
Теорема Каратеодори.
Мера.
Мера Лебега.
Мера Лебега—Стилтьеса.
Вероятностная мера.
Обобщающая мера.
Измеримое отображение.
Определение и некоторые свойства.
Измеримость композиции.
Измеримость некоторых отображений.
Сходимости последовательности отображений.
Сходимости ряда отображений.
Интеграл Лебега.
Лебегово число.
Свойства лебегова числа.
Конструкция интеграла Лебега.
Корректность определения интеграла Лебега.
Примеры.
Свойства интеграла Лебега.
Последовательность отображений, ряд отображений и интеграл Лебега.
Интеграл Лебега по обобщённой мере.
Список обозначений.
Список определений.
Список теорем.
  • Чтобы скачать этот файл зарегистрируйтесь и/или войдите на сайт используя форму сверху.
  • Регистрация